実務で使える金融工学　基礎編

基礎編　３．　スワップ　

3.5　金利スワップの時価評価

3.5.2　Annuity と Discount Factor と スワップ金利 の関係

Annuityとは、一定金額を定期的に支払うキャッシュフローの事です。年金の支払いが典型的な例で、Annuityは年金とも訳されますが、金利スワップにおける固定金利キャッシュフローも一種のAnnuityと見做せます。

仮に、各クーポン支払日　$T_1^{Fix}\lt T_2^{Fix}\lt ,…,\lt T_{m-1}^{Fix}\lt T_m^{Fix}$　に１単位の現金を支払うキャッシュフローがあるとすると、その現在価値は、前のセクションの固定金利キャッシュフローの現在価値を計算する式（左辺の第1項）で$Ｃ＝Ｋ=１$ と置いたものになります。
すなわち

$$Present Value of Annuity = \sum_{i=1}^{m} \tau_{i}^{Fix} \times DiscountFactor(r(T_{i}^{Fix}))$$

すなわちAnnuityの価格は、各クーポン支払日のDiscount Factorをクーポン期間で加重した値の合計と見做せます。

一方、変動金利$L_j (T_{j-1}^{Float},T_j^{Float})$ は、LIBOR-Swap Curveを使った生成したゼロクーポン債の価格で表現できます。現時点t からみた、$T_j$　満期のゼロクーポン債の価格を　$P(t,T_j )=P(T_j)$ とおくと、

$$L_j (T_{j-1}^{Float},T_j^{Float})=\frac{P(T_{j-1}^{Float})-P(T_j^{Float})}{\tau_j^{Float}\times P(T_j^{Float})}$$

となります。これを、変動金利キャッシュフローの現在価値の式に代入すると

$$\small \sum_{j=1}^{n} \frac{P(T_{j-1}^{Float})-P(T_j^{Float})}{\tau_j^{Float}\times P(T_j^{Float})} \times \tau_j^{Float} \times DiscountFactor(r(T_j^{Float})) \hspace{80mm} \\ \small =\frac{P(T_0^{Float})-P(T_1^{Float})}{P(T_1^{Float})}\times DiscountFactor(r(T_1^{Float}))+ \frac{P(T_1^{Float})-P(T_2^{Float})}{P(T_2^{Float})}\times DiscountFactor(r(T_2^{Float}))+, \\ \small ..., +\frac{P(T_{n-1}^{Float})-P(T_n^{Float})}{P(T_n^{Float})}\times DiscountFactor(r(T_n^{Float})) \hspace{60mm}$$

ここでリーマン以前のLIBOR・Swapカーブ時代に戻って、$DiscountFactor(r(T_i))$ を、LIBOR-Swap Curveを使って導出してみます。すると、$DiscountFactor(r(T_j^{Float}))=P(T_j^{Float})$　となり、上の式の右辺は、級数の途中がすべて相殺されて、$P(T_0^{Float})-P(T_n^{Float})$ となります。　AnnuityのDiscount Factorも、LIBOR-Swap Curveを使ったゼロクーポン債価格と考えると、金利スワップの価格式は次の様に書き換えられます。

$$K\times Annuity-(P(T_0)-P(T_n))=0 \hspace{50mm}$$ $$但し T_0=T_0^{Float}=T_0^{Fix}, T_n=T_n^{Float}=T_m^{Fix} \hspace{30mm}$$

この式を書き換えると

$$Par Swap Rate=K=\frac{P(T_0)-P(T_n)}{Annuity}=\frac{P(T_0)-P(T_n)}{\sum_{i=1}^m \tau_i^{Fix} \times P(T_i)}$$

となります。

すなわち、Discount Curve（割引債価格のカーブ）から、任意のスタート日とエンド日を決めれば、その期間に対応するPar Swap Rateを導出できるという事です。先日付スタートのPar Swap Rateを計算する際に、よく使われる式です。