Loading [MathJax]/jax/output/CommonHTML/jax.js

上級編 4. Short Rate Models

4.4   Hull-White モデル

4.4.2  モデルから r(t) および ゼロクーポン債価格(の分布)を導出

θ(t) の導出過程の説明が長くなりましたが、次のステップにすすみます。 

モデルで、未だ特定されていないのが、中心回帰強度 a(t)  Volatility  σr(t) の関数になります。これらは、実際には、値を Calibration で求めますが、通常 Piecewise Constant な関数と仮定されます。これは3項Treeや有限差分法などにおいて、離散化した時間軸毎に定数を割り当てる為です。ここでは、解析プロセスをわかり易くする為、それぞれすべての時間で共通の定数 a, σr と置き、これらのパラメータも既に与えられたと仮定します。 

一応これで、モデルが特定されました。 

モデル(瞬間短期金利の確率微分方程式)が特定されたので、そこから t 時の瞬間短期金利 r(t) (の分布)と、t 時のゼロクーポン債価格 P(t,T) (の分布)を導出します。これも、Vasicek モデルでの解析プロセスと同じように、求めていきます。(John-Hull “Technical Note No.31, Option future and Other Derivatives”を参考にしています。) 

Vasicek モデルでは dr(t) を積分して瞬間短期金利 r(t) を求めましたが、ここでは、前のセクションで θ(t) を求める過程の中で、r(t) を先に求めていたので、それを使います。その式は下記のような形でした。(4.14及び4.15式を再記) 

r(t)=f(0,t)+t0(etua(s)dsσr(u)tuesua(τ)dτσr(s)ds)du+t0etua(s)dsσr(u)dW(u)=f(0,t)+et0a(s)dst0((eu0a(s)dsσr(u))2tuesua(τ)dτds)du      +et0a(s)dst0eu0a(s)dsσr(u)dW(u)

あるいは、g(t)とh(T)の表現を使うと 

r(t)=f(0,t)+h(t)t0g(u)2tuh(s)ds du+h(t)t0g(u)dW(u)

先ほど、a,  σrは定数と置いたので、上記の式の積分が一部計算できます。その結果 

r(t)=f(0,t)+eatt0e2auσ2rtueasds du+eatt0eauσr(u)dW(u)

ここからさらに、r(t) を t から T まで積分すれば、t 時における T 満期ゼロクーポン債のトータルリターンになります。解析プロセスは省略しますが、結果は下記のようになります。 

Ttr(t)dt=lnP(0,T)P(0,t)+σ2r4a3[e2a(Tt)e2aT1+e2at4ea(Tt)+4eaT+44eat]+σr(eaTeat)at0eaudW(u)

この値を (T-t) で割れば、年率表示のゼロクーポン債利回りとなります。また、この値の符号をマイナスにして指数を取れば、ゼロクーポン債価格になります。 

上式の右辺の最後の項に伊藤積分が残っています。この項は、4.18式を使って、r(t)の式に変換できて 

σr(eaTeat)at0eaudW(u)=(eaTeat)a[r(t)eat+f(0,t)eat+σ2ra2(eat1)σ2r2a2(eateat)]

となります。これを 4.19 式に代入すると、 

Ttr(t)dt=lnP(0,T)P(0,t)+σ2r4a3[e2a(Tt)e2aT1+e2at4ea(Tt)+4eaT+44eat]+(eaTeat)a[r(t)eat+f(0,t)eat+σ2ra2(eat1)σ2r2a2(eateat)]

非常に長ったらしい関数形ですが、右辺から伊藤積分の項が消え、A(t,T)+B(t,T)×r(t)  r(t) のAffine関数(1次関数)の形になっています。すなわち、t→T 間の瞬間短期金利での運用の累計リターンは r(t) の Affine 関数で表現できました。 

また、ゼロクーポン債価格の式は、下記のように r(t) の指数関数として表現できます。 

P(t,T)=eTtr(t)dt=A(t,T)eB(t,T)r(t) B(t,T)=1ea(Tt)aA(t,T)=P(0,T)P(0,t)exp[f(0,t)B(t,T)σ2r(eaTeat)2(e2at1)4a3]

これで、瞬間短期金利 r(t) から t 時のゼロカーブと Discount Curve が描けました。 

 

目次
// // //