実務で使える金融工学　基礎編

基礎編　１　キャッシュフローと金利　

１．５　連続複利 (Continuous Compounding) と瞬間短期金利 (Instantaneous Short Rate)　

複利の回数を増やし∞にした複利を、連続複利（Continuous Compounding ）と呼びます。式で表現すると次のようになります 

$$Yield\ per\ year(continuous compounding)= \lim_{n \to \infty} \bigg(1+\frac{r}{n}\bigg)^n -1=e^{r\times1}-1<\infty$$

但しnは1年間の複利回数です。複利の回数を増やせば、Yieldは少しずつ大きくなっていきますが、∞に発散する訳では無く、$e^{rT}-1\ $に収束します。Tは投資期間で、ここでは１年です。 

実際の金融市場で、そのような複利の機会は存在しておらず、あくまで観念的な概念です。この観念的な金利は、無限小の期間（瞬間）の投資に適用される金利として、瞬間短期金利（Instantaneous Spot Rate）と呼ばれています。 

試しに、瞬間短期金利で無限回の再投資をした複利利回りがどの程度になるか計算してみましょう。瞬間短期金利を1％として計算してみます。 

$$\lim_{n \to \infty} \bigg(1+\frac{0.01}{n}\bigg)^n -1=e^{0.01}-1\simeq1.005\%$$

１年の後のリターン、即ち年1回払い相当の金利は1.005%　になります。年間で250回複利を行うのとほぼ同じYieldになりました。 

今は金利の絶対水準が低いので、複利の効果はあまり強くあらわれませんが、rの値が大きくなるにつれ、複利の効果は指数的に大きくなります。仮にr=5％とすると、1年後のYieldは5.1271％となり、r=10％とすると10.5171％となります。 

前のセクションの金融商品の価格式で使われた、キャッシュフローを現在価値に割引くための　$DiscountFactor(r_{riskfree} (T_i))$は、連続複利利率を使うと、簡単に計算できます。すなわち、現在手元にある１単位のキャッシュの、期間T後の将来価値は、$e^{rT}$　となります。逆に、期間T後に発生する１単位のキャッシュフローの現在価値は、$\frac{１}{e^{rT}} =e^{-rT}$ となります。  

これがDiscount Factorになるので$DiscountFactor(r_{riskfree} (T_i))=e^{-r_{riskfree}(T_i)*T_i}$ です。あるいは、$DiscountFactor(r_{fundingcostindex}(T_i))=e^{-r_{fundingcostindex}(T_i)*T_i}$ とするのが、より実務的です。少し読みづらいので、今後$r_{fundingcostindex}(T_i)$あるいは$r_{riskfree}(T_i)$は、$r(T_i)$という表記にします。 

例えば、額面が100で残存期間が8.6年のゼロクーポン債の価格が91.75取引されていたとします。このゼロクーポン債の価格が内包している連続複利利率は、下記方程式を解けば求められます。 

$$ZeroCouponPrice(T_i)=e^{-r(T_i)T_i}=e^{-r(T_i)8.6}=0.9175$$

両辺の対数を取って$r(T_i)$を求めると 

$$r(T_i)=-\frac{\ln{0.9175}}{8.6}=1.001\%c.c.$$

また金利オプションの価格モデルの世界で大きな一角を占めているShort Rate Modelのグループは、この瞬間短期金利の確率過程をモデル化し、そこから金利オプション価格を導出しています。 

Quants Financeに関する文献で登場する金利rは、特に断りが無ければ殆どの場合、瞬間短期金利を意味しています。その場合、特にc.c.を付けて表示しません。